ARBOLES DE DECISION

Se han desarrollado muchas técnicas para facilitar el proceso de decisión en la organización; este desarrollo se ha producido por el problema del desconocimiento del futuro, por lo menos hasta nuestros días. Una de estas técnicas de ayuda es comúnmente conocida como ARBOLES DE DECISION. Esta técnica es un método conveniente para presentar y analizar una serie de decisiones que se deben tomar en diferentes momentos.
Aunque el enfoque de arboles de decisión fue utilizado dentro del contexto de la teoría de la probabilidad, Magee fue el primero en utilizar el concepto para tratar el problema de las decisiones de inversión de capital; posteriormente Hespos y Strassmann (1965) propusieron, con algún detalle, combinar el análisis del riesgo, propuesto por Hertz (1964), y Hillier (1963), con la técnica de los arboles de decisión (debe aclararse que Magee había previsto la combinación de estos enfoques cuando planteo la utilización de los arboles de decisión); en 1968 Raiffa (1968) desarrollo en forma detallada y muy clara la teoría de la decisión, donde se incluyen la técnica propuesta por Magee y en general todo lo relacionado con las decisiones bajo riesgo.
Aquí se presenta lo relacionado con los arboles de decisión dentro de los planteamientos de los mencionados autores. Sin embargo, se hace con la salvedad de que una herramienta útil para visualizar las diferentes alternativas que se presentan al decisor y para un mejor tratamiento probabilístico; pero de ahí a creer que se pueda utilizar, hay un largo trecho. Los arboles de decisión son muy útiles para el planteamiento de problemas secuenciales, pero esta clase de situaciones implica decisiones con resultados hacia el futuro que, en términos de comportamiento del decisor, no se ha definido con claridad cómo manejarlos.
En general, los problemas cuyos resultados se presentan como matrices de pago son susceptibles de ser representados como arboles de decisión. En un árbol de decisiones hay nodos y ramas. Hay líneas rectas – las ramas – cuadrados- los nodos o puntos de decisión- y círculos – los nodos o puntos de azar. Cada rama tiene asociada una probabilidad de ocurrencia. Esta probabilidad es una medida de la posibilidad de que ese evento ocurra. La suma de las probabilidades de las ramas que parten de cada nodo de evento es igual a uno. O sea, se supone que los eventos son exhaustivos; a los nodos de decisión no se les asignan probabilidades ya que en esos puntos el decisor tiene el control y no es un evento aleatorio, sujeto al azar.
La secuencia óptima de decisiones se encuentra comenzando a la derecha y avanzando hacia el origen del árbol. En cada nodo se debe calcular un VPN esperado. Si el nodo es un evento, este VPN se calcula para todas las ramas que salen de ese nodo. Si el nodo es un punto de decisión, el VPN esperado se calcula para cada una de las ramas y se selecciona el más elevado. En cualquiera de los dos casos, el VPN esperado se lleva hasta el siguiente evento multiplicado por la probabilidad asociada a la rama por donde se viaja.
Existen programas que se adicionan a Excel que sirven para este tipo de operaciones con árboles de decisión.


EJERCICIOS RESUELTOS EN TREEPLAN

PROBLEMAS

Problema 1.-

Un agricultor de Viru debe decidir si usar 1 parcela de terreno en sembrar trigo o dedicarla para pastar ganado. Si siembra trigo y la temporada es buena estima que obtendrá una ganancia de $10 000 al año.

Sin embargo, si la temporada es muy húmeda, la cosecha sería buena solamente para alimento de ganado, lo cual le permitiría solamente un ingreso de $ 4000. El cree que la probabilidad de una buena temporada es de 0.8. Si él escoge pastar ganado en este terreno, la ganancia a obtener dependerá del precio de la carne en el mercado en tal momento. El cree que el mercado de la carne podría crecer hasta tal punto que le proporcionaría una ganancia neta estimada de $ 12 000 o podría permanecer constante y en tal caso su ganancia sería de $ 8 000. El estima una probabilidad de 0.1 en que el mercado de la carne crezca.
Puede contratar a un especialista en el tiempo o a otro especialista en el estudio de mercados o a los dos. Si puede o no contratar a uno de los dos especialistas o a los dos a al vez, cuál es el costo de dicha información en cada caso?

PARTE 1.-


PARTE 2.-


PARTE 3.-


PARTE 4.-


Problema 2.-

PRENTICE – HALL fabrica libros de investigación de operaciones en lotes de diez. Según su experiencia PRENTICE – HALL sabe que el 80% de todos los lotes contienen el 10% (uno cada diez) de libros defectuosos y el 20% de todos los lotes contienen el 50% (5 de cada 10) de libros defectuosos. Si un lote es bueno, esto es, con 10% de defectos, se manda a la siguiente etapa de producción, los costos de proceso en que se incurran serán de $1000. Si un lote es malo, esto es, con 50% de libros defectuosos, se manda a la siguiente etapa de producción, se incurre en un costo $4000. PRENTICE – HALL también tiene la opción de reprocesar un lote a un costo de $1000. Es seguro que un lote reprocesado será después un lote bueno. Otra opción es que por un costo de $100, PRENTICE – HALL pueda probar un chip de cada lote para tratar de determinar si es defectuoso ese lote. Determinar como PRENTICE – HALL puede reducir al mínimo el costo total esperado por lote. Calcular el VEIM y VEIP.

Problema 3.-

El señor Joe Willliams, un empresario, está considerando la posibilidad de comprar uno de los siguientes negocios al menudeo: una tienda de cámaras, una tienda de equipos de cómputo o una tienda de aparatos electrónicos, todas con aproximadamente la misma inversión inicial. para la tienda de cámaras, estima que hay una probabilidad de 20% de que el desempeño de las ventas sea el promedio, lo que tendría como resultado una recuperación anual de $20 000. estos valores e información parecida para las tiendas de equipo de cómputo y de aparatos electrónicos se resumen en las siguientes tablas de ganancia y de probabilidad.




a. Trace un árbol de decisiones apropiado que identifique los nodos de probabilidad y de decisión.
b. Calcule la ganancia esperada de cada nodo de probabilidad.
c. Identifique la decisión óptima.

PARTE 1.-


PARTE 2.-

EJEMPLOS DE LA TEORIA DE DECISIONES

La teoria de decisiones puede definirse como el análisis lógico y cuantitativo de todos los factores que afectan los resultados de una decision en un mundo incierto. Se resuelven segun:

1.- INFORMACION PERFECTA: Toma de decisiones en condiciones de certeza o certidumbre. Se conocen los datos (disponibilidad perfecta). Concemos nuestro objetivo y tenemos informacion exacta, medible y confiable acerca de los resultados de cada una de las alternativas que consideramos.

Ejemplos:

- Naci el 18 de Setiembre de 1990.

- El proximo Lunes cumple 60.

- Estamos en el Año 2011.

- El sol se encuentra en el centro del sistema Solar.

- El dia tiene 24 horas.

2.- INFORMACION IMPERFECTA O PARCIAL: Dos situaciones:

a) Decisiones con riesgo: Disponibilidad intermedia de datos. Los datos se representan a traves de las funciones de probabilidad.

Ejemplos:

- Producto Innovador que ha sido modificado.

- Inflación.

- Demanda de trabajo.

- Salir a bailar con un grupo de amigos.

- Manejar moto para ir a trabajar.

b) Decisiones con Incertidumbre: No se disponen de datos:

No se conocen los datos y no puede determinarse una funcion de probabilidad.

Si el decisor además tiene un oponente inteligente se formularan Teoría de Juegos.

Ejemplos:

- Examen de ingreso para un estudiante.

- Cuando un bebe empieza a caminar.

- Mama primeriza para dar a el parto.

- La primera intervencion quirurgica de una medico cirujano.

- Las elecciones presidenciales del año 2011.

ANÁLISIS DE DECISIONES

El análisis de decisión proporciona un marco para analizar una gran variedad de modelos de administración. Este marco establece:
Un sistema para clasificar los modelos de decisión, basado en la cantidad de información disponible sobre el modelo.
Un criterio de decisión; esto es una medida de la "bondad" de la decisión para cada tipo de modelo.
Los árboles de decisión aplican conceptos de teoría de decisiones a decisiones secuenciales que incluyen eventos inciertos. Son una ayuda pragmática y practica para la toma de decisiones administrativa. En términos generales, la teoría de decisiones se ocupa de decisiones contra la naturaleza. Esta frase se refiere a una situación donde el resultado (rendimiento) de una decisión individual depende de la acción de otro agente (naturaleza), sobre el cual no se tiene control. Por ejemplo, si la decisión consiste en llevar o no paraguas, el rendimiento (mojarse o no) dependerá del estado subsiguiente de la naturaleza. Es importante observar que en este modelo los rendimientos afectan únicamente al que toma la decisión. A la naturaleza no le importa cuál es el resultado. Esta condición distingue la teoría de decisiones de la teoría de los juegos. En la teoría de los juegos ambos jugadores tienen un interés económico en el resultado.
En los modelos de la teoría de decisiones, la pieza fundamental de información es la tabla de restricciones, como se observa en la tabla 10.1. Las decisiones alternativas están enumeradas en un lado de la Tabla, y los posibles estados de la naturaleza están indicados en la parte superior. Las entradas del cuerpo de la tabla son las retribuciones para todas las combinaciones posibles de decisiones y estados de la naturaleza. El proceso de decisión es como sigue:
Usted, quien toma la decisión, selecciona una de las decisiones alternativas d_(1,…,) d_n. Suponga que elige d_1.
Una vez tomada su decisión, ocurre un estado de la naturaleza que queda fuera de su control. Suponga que ocurre el estado 2.
El rendimiento que usted reciba puede ser determinado ahora a partir de la tabla de retribuciones. Dado que usted tomó la decisión d_1 y ocurrió el estado de la naturaleza 2, el resultado es r_12.

TABLA 10.1

Otra vez la decisión se toma primero, y a continuación ocurre uno de los estados de la naturaleza. Una vez tomada la decisión, no puede cambiarse después de ocurrido el estado de la naturaleza. En general la pregunta es, ¿cuál de las decisiones debemos seleccionar? Nos gustaría un rendimiento tan grande como sea posible; esto es, el valor de r_ij más grande posible, donde i representa la decisión tomada y j el estado de la naturaleza ocurrido. Es obvio que la decisión que debemos seleccionar dependerá de lo que creamos que la naturaleza hará, esto es, cuál de los estados de la naturaleza ocurrirá. Si creemos que el estado 1 ocurrirá, seleccionaremos la decisión asociada con el mayor valor en la columna 1. Si creemos que es más probable que ocurra el estado 2, escogeremos la decisión a la que corresponde la retribución más alta en la columna 2, y así sucesivamente.
En la sección siguiente consideraremos varias suposiciones sobre el comportamiento humano. Cada suposición lleva a un criterio diferente para seleccionar la "mejor" decisión, y por lo tanto también nos lleva a un procedimiento diferente.

TRES CLASES DE MODELOS DE DECISION
Esta sección se ocupa de tres clases de modelos de decisión contra la naturaleza. Cada clase está definida por una suposición acerca del comportamiento de la naturaleza. Las tres clases son: decisiones bajo certidumbre, decisiones bajo riesgo y decisiones bajo incertidumbre. De las tres, lo más probable es que nos encontremos ante decisiones bajo riesgo, pero las otras dos son presentadas para dar una idea más completa.

DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE
Una decisión bajo certidumbre es aquella en la que usted sabe cuál es el estado de la naturaleza que va a ocurrir. De manera alternativa, usted puede pensar en ella como un caso con un solo estado de la naturaleza. Suponga, por ejemplo, que por la mañana usted está tratando de decidir si debe llevar su paraguas al trabajo, y usted está seguro de que estará lloviendo para cuando salga de trabajar por la tarde. En la tabla de retribuciones para este modelo (Tabla 10.2) el costo de limpiar su traje si lo sorprende la lluvia es de $7. Entra en la tabla con un signo de menos, ya que es una tabla de rendimientos, y un costo es un rendimiento negativo. Obviamente, la decisión óptima es llevar el paraguas.

TABLA 10.2.

Todos los modelos de programación lineal, los modelos de programación con enteros, los modelos de programación no lineal y otros modelos determinísticos como el modelo CEP (Cantidad Económica del Pedido), pueden considerarse como decisiones contra la naturaleza debido a que sólo hay un estado de la naturaleza. Esto es así dado que estamos seguros (dentro del contexto del modelo) del rendimiento que obtendremos para cada decisión que tomemos.
Teóricamente es fácil resolver un modelo con un solo estado de la naturaleza. Simplemente se selecciona la decisión con el rendimiento más alto. En la práctica, de manera contraria a la teoría, encontrar esa decisión es otra historia. Dado que E y F pueden asumir un número infinito de valores, habrá un número infinito de filas para este modelo (véase la tabla 10.3). Incluso en este modelo simple, no es posible enumerar las alternativas y seleccionar la mejor. Se necesita un análisis matemático adicional (en este caso, el algoritmo Solver de Excel) para encontrar la decisión óptima.

DECISIONES BAJO RIESGO

Una falta de certidumbre respecto a los eventos futuros es una característica de muchos, si no es que la mayoría, de los modelos de decisiones administrativas. En los estados de la naturaleza está definida una distribución de probabilidades. Quien toma la decisión puede utilizar los siguientes criterios para seleccionar la "mejor decisión":

a. Maximizar el rendimiento esperado medido por un rendimiento neto en dólares.
b. Minimizar el arrepentimiento esperado (costo de oportunidad).
c. Maximizar el rendimiento esperado medido por su utilidad.

Vimos que los criterios a y b siempre conducen a la misma decisión. La mayor parte de los modelos de decisiones administrativas caen dentro de esta categoría de decisiones bajo riesgo.

DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE (Opcional)

En las decisiones bajo incertidumbre otra vez tenemos más de un estado posible de la naturaleza, pero ahora quien toma la decisión no quiere o no puede especificar las probabilidades de que los diferentes estados de la naturaleza ocurran. Hay una discusión eterna acerca de si una situación de este tipo debería existir; esto es, ¿quién toma la decisión debería estar siempre dispuesto a especificar las probabilidades, aunque sea de manera subjetiva, incluso cuando él o ella no tenga mucha idea (o ninguna) de cuál estado de la naturaleza puede ocurrir? A pesar de que es difícil imaginar una decisión de negocios real hecha bajo semejante nube, dejaremos esta discusión a los filósofos y nos centraremos en los diferentes procedimientos recomendados para esta clase de modelos para aquellos que estén interesados. Observe que hemos indicado que esta sección es opcional para quienes consideren "decisiones bajo riesgo" como el tema más importante.

CRITERIO MAXIMIN.- Criterio de Wald

El criterio maximin es un procedimiento extremadamente conservador, quizás pesimista, para tomar decisiones. Evalúa cada decisión según la peor circunstancia que pudiera pasar si se tomara esa decisión. En este caso, entonces, evalúa cada decisión según el rendimiento mínimo posible asociado con la decisión.
Maximin es utilizado a menudo en situaciones donde la persona que planea siente que no puede permitirse un error. (La planeación de la defensa nacional puede ser un ejemplo, asi como la inversión de los ahorros de toda la vida.) Quien planea elige una decisión que hace lo mejor posible en el peor (o más pesimista) caso posible.
Sin embargo, es fácil crear ejemplos en los cuales la mayor parte de la gente no aceptaría la decisión seleccionada con el criterio o enfoque maximin.

ARREPENTIMIENTO Y ARREPENTIMIENTO MINIMAX.- El arrepentimiento introduce un nuevo concepto para medir el carácter deseable de un resultado; esto es, es una nueva forma de crear la tabla de retribuciones. Algunos gerentes de personal creen que los graduados universitarios tienden a escoger entre varias opciones para su primer empleo utilizando el criterio de arrepentímiento minimax. Se imaginan a sí mismos en los diferentes puestos y deciden en cuál se sentiran menos arrepentidos de estar.
En otras palabras, "arrepentimiento" es sinónimo del "costo de oportunidad" de no tomar la mejor decisión en un estado de la naturaleza en particular. Es obvio que la administradora desearía tomar una decisión que minimizara el arrepentimiento, pero (lo mismode siempre) no sabe cuál de los estados de la naturaleza ocurrirá. Si ella supiera cual es la distribución de probabilidades del estado de la naturaleza, podría minimizar el arrepentímiento esperado. (En la siguiente sección, veremos que esto es equivalente a maximizar el flujo neto de efectivo esperado.) Si ella no conoce las probabilidades, la sugerencia típica es utilizar el criterio minimax conservador; esto es, seleccionar aquella decisión que funciona mejor en el peor caso (la decisión con el arrepentimiento máximo más pequeño).

EL VALOR DE LA EXPERIMENTACION

Antes de analizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Se presentan aquí dos métodos complementarios para evaluar su valor potencial.
En el primer método se supone (de manera poco realista) que la experimentación eliminara toda la incertidumbre sobre cuál es el estado verdadero de la naturaleza y después hace un cálculo rápido sobre cuál sería la mejora en el pago esperado (ignora el costo de experimentación). Esta cantidad llamada valor esperado de la información perfecta, proporciona una cota superior para el valor potencial del experimento. Por lo tanto, si esta cota superior es menor que el costo del experimento, en definitiva este debe ser llevado a cabo.
Sin embargo si esta cota superior excede el costo de la experimentación, entonces debe usarse el segundo método (más lento). Este método calcula la mejora real del pago esperado (ignora el costo de experimentación) que resultaría al realizar el experimento. La comparación de esta mejora con el costo indica si el experimento debe ser llevado a cabo.

EL VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA: EL MODELO DEL REPARTIDOR DE PERIÓDICOS BAJO RÍESGO.-

Un límite superior del valor de la nueva información. El valor esperado de la información perfecta esta abreviado en VEIP y se calcula como:
VEIP= Pago esperado con información perfecta- pago esperado sin experimentación.
Suponga ahora que el experimento puede identificar de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturaleza y proporcionar con esto información perfecta. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado, se elegirá la acción con el máximo pago para ese estado. No se sabe de antemano cual estado se identificará, por lo que el cálculo del pago esperado con la información perfecta (sin el coste de experimentación) requiere ponderar el pago máximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidad a priori de ese estado.
Así, como la experimentación casi nunca puede proporcionar información perfecta, el VEIP resulta ser una cota superior sobre el valor esperado de la experimentación.

PROGRAMACIÓN DINAMICA

La programación dinámica (PD) es un procedimiento matemático diseñado principalmente para mejorar la eficiencia de cálculo de problemas de programación matemática seleccionados, descomponiéndolos en subproblemas de menor tamaño y, por consiguiente, más fáciles de calcular. La programación dinámica comúnmente resuelve el problema en etapas, donde en cada etapa interviene exactamente una variable de optimización (u optimizadora). Los cálculos en las diferentes etapas se enlazan a través de cálculos recursivos de manera que se genere una solución óptima factible a todo el problema.
El nombre programación dinámica probablemente evolucionó debido a su uso con aplicaciones donde intervenía la toma de decisiones relacionadas con el tiempo (como los problemas de inventarios). Sin embargo, con la PD también se resuelven adecuadamente otras situaciones donde el tiempo no es un factor importante. Por este motivo, un nombre más adecuado puede ser programación de etapas múltiples, ya que el procedimiento determina comúnmente la solución en etapas.
La teoría unificadora fundamental de la programación dinámica es el principio de optimidad. Este nos dice básicamente cómo se puede resolver un problema adecuadamente descompuesto en etapas (en vez de una sola etapa) utilizando cálculos recursivos.
Los sutiles conceptos que se utilizan en PD junto con las notaciones matemáticas poco conocidas son una fuente de confusión, en especial para un principiante. No obstante, nuestra experiencia demuestra que la resolución frecuente de formulaciones y soluciones de PD permitirá a un principiante, con algo de esfuerzo, entender estos conceptos avanzados. Cuando sucede esto, la programación dinámica se vuelve sorprendentemente sencilla y clara.
10.1 ELEMENTOS DEL MODELO DE PD, EJEMPLO DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL
Una corporación recibe propuestas de sus tres plantas respecto a la posible expansión de las instalaciones. La corporación tiene un presupuesto de $5 millones para asignarlo a las tres plantas. A cada planta se le solicita someta sus propuestas, indicando el costo total (c) y el ingreso total (R) para cada propuesta. En la tabla 10-1 se resumen los costos e ingresos (en millones de unidades monetarias). Las propuestas de costo cero se presentan para dar cabida a la posibilidad de no asignar fondos a plantas individuales. La meta de la corporación es la de maximizar el ingreso total resultante de la asignación de los $5 millones a las tres plantas.
Una manera directa, y quizá ingenua, de resolver el problema es a través de una enumeración exhaustiva. El problema tiene 3.x 4x2 = 24 posibles soluciones y algunas de ellas son infactibles porque requieren más capital que el disponible-($5 millones). La idea de la enumeración exhaustiva es la de calcular el costo total de cada una de las 24 combinaciones. Si éste no excede el capital disponible, se obtiene su ingreso total. La solución óptima es la combinación factible que produce el más alto ingreso total. Por ejemplo, las propuestas 2, 3 y 1 de las plantas 1, 2 y 3 cuestan $4 millones (<5) y producen un ingreso total de $14 millones. Por otra parte, la combinación que comprende las propuestas 3, 4 y 2 es infactible porque cuesta $7 millones. Examinaremos las desventajas de la enumeración exhaustiva.
1. Cada combinación define una política de decisión para todo el problema y por lo tanto, quizá no sea factible en términos de cálculo la enumeración de todas las combinaciones posibles para problemas de tamaños mediano y grande.
2. Las combinaciones infactibles no se pueden detectar con anticipación, lo cual nos conduce a que haya ineficiencia en términos de cálculo.
3. La información disponible referente a combinaciones investigadas con anterioridad no se utiliza para eliminar combinaciones inferiores futuras.
El algoritmo de PD que presentamos aquí está diseñado para facilitar las dificultadas que hemos notado.
10.1.1 MODELO DE PD
En la programación dinámica, los cálculos se realizan en etapas dividiendo el problema en sub problemas. Después se considera por separado cada sub problema con el fin de reducir el número de operaciones de cálculo. Sin embargo, como los sub problemas son independientes, debe idearse un procedimiento para enlazar los cálculos de manera que garantice que una solución factible para cada etapa sea asimismo factible para todo el problema.
Una etapa en PD se define como la parte del problema que posee un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes, de las cuales se seleccionará la mejor alternativa. En términos del ejemplo del presupuesto de capital, cada planta define una etapa donde la primera, segunda y tercera etapas tienen tres, cuatro y dos alternativas, respectivamente. Estas etapas son interdependientes porque las tres plantas deben competir por un presupuesto limitado. Por ejemplo, elegir la propuesta 1 de la planta 1 dejará $5 millones para las plantas 2 y 3, en tanto que la elección de la propuesta 2 de la planta 1 sólo dejará $4 millones para las plantas 2 y 3.
La idea básica de PD consiste prácticamente en eliminar el efecto de la interdependencia entre etapas, asociando una definición de estado con cada etapa. Un estado se define normalmente como aquel que refleja la condición (o estado, valga la redundancia) de las restricciones que enlazan las etapas. En el ejemplo del presupuesto de capital, definimos los estados para las etapas 1, 2 y 3 como sigue:
X1= monto de capital asignado a la etapa 1
X2= monto de capital asignado a las etapas 1 y 2
X3= monto de capital asignado a las etapas 1, 2 y 3
Ahora demostraremos cómo se utilizan las definiciones de etapas y estados dadas, para descomponer el problema del presupuesto del capital en tres sub problemas independientes, desde el punto de vista del cálculo.
Obsérvese primero que los valores de X1 y X2 no se conocen con exactitud, pero deben estar en alguna parte entre 0 y 5. De hecho, como los costos de las diferentes propuestas son discretos, X1 y X2 sólo pueden tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. Por otra parte, X3, que es el capital total asignado a todas las etapas, las tres, es igual a 5.
La forma como resolvemos este problema consiste en comenzar con la etapa 1 (planta). Obtenemos decisiones condicionales para esa etapa que responden la pregunta siguiente: dado un valor específico de X1 (=0,1,2,3,4 o 5), ¿cuál sería la mejor alternativa (propuesta) para la etapa 1? Los cálculos para la etapa 1 son directos. Dado el valor de X1, elegimos la mejor propuesta cuyo costo no exceda X1. En la tabla que sigue se resumen las decisiones condicionales de la etapa 1.

APLICACIÓN DE PERT Y CPM

UN PROYECTO TÍPICO:
LA OPERACIÓN DE LA TARJETA DE CRÉDITO DE GLOBAL OIL

Nadie diría que esto es parecido a construir la Gran Pirámide, pero el traslado inminente de la operación de las tarjetas de crédito hacia Des Moines, Iowa, desde su actual oficina central en Dallas, es un proyecto importante tanto para Rebecca Goldstein como para Global Oil. La mesa directiva de Global ha establecido como fecha límite 22 semanas para que el traslado esté terminado. Becky es una de las personas que llevan a cabo una gerencia en el Grupo de Análisis Operaciones. Está a cargo de planear el traslado, de verificar que todo resulte de acuerdo con el plan y de asegurarse de que el plazo fijado se cumpla.
El traslado es difícil de coordinar porque involucra muchas divisiones diferentes de la compañía. "Bienes raíces" tiene que seleccionar uno de tres sitios posibles para las oficinas. "Personal" tiene que determinar qué empleados de Dallas se mudarán, cuántos nuevos empleados se contratarán y quién los va a capacitar. El grupo de sistemas y la oficina del tesorero deben organizar y poner en práctica los procedimientos de operación y los arreglos financieros para la nueva operación. Los arquitectos tendrán que diseñar el espacio interior y supervisar las mejoras estructurales que se necesiten. Cada uno de los sitios que Global está considerando es un edificio existente, con la cantidad apropiada de espacio libre. Sin embargo, se deberán adquirir las divisiones entre oficinas, las instalaciones de computadoras, los muebles, y así sucesivamente.
Un segundo factor de complicación es que existe interdependencia entre las actividades. En otras palabras, algunas partes del proyecto no pueden iniciarse hasta que otras estén terminadas. Considere dos ejemplos obvios: Global no puede montar el interior de una oficina antes de que sea diseñada. Tampoco puede contratar nuevos empleados hasta que haya determinado cuáles son los requerimientos de personal.

LISTA DE ACTIVIDADES

Becky sabe que PERT y CPM están especialmente diseñados para proyectos de este tipo, y no pierde tiempo en comenzar. El primer paso en el proceso es definir las actividades del proyecto y establecer las relaciones de precedencia apropiadas. Éste es un primer paso importante, ya que errores u omisiones en esta etapa pueden llevar a una programación desastrosamente imprecisa. La tabla 14.1 muestra la primera lista de actividades que Becky prepara para el traslado (las columnas llamadas "Tiempo" y "Recursos" son indicadores de elementos por considerar). Ésta es b parte más importante de cualquier proyecto PERT o CPM y usualmente se lleva a cabo involucrando a varias personas, de forma que no se pasen por alto actividades importantes. Todo el trabajo debe ser un esfuerzo de equipo, no un esfuerzo individual.



Conceptualmente, la tabla 14.1 es sencilla. Cada actividad está colocada en una línea por separado y sus predecesores inmediatos están registrados en la misma línea. Los predecesores inmediatos de una actividad se refieren a aquellas funciones que deben estar terminadas antes de comenzar la actividad en cuestión. Por ejemplo, en la tabla 14.1 podemos ver que Global no puede comenzar la actividad C (determinar los requerimientos del personal) hasta que la actividad B (crear el plan organizacional y financiero) esté terminada. De manera similar, la actividad G (contratar nuevos empleados) no puede comenzar hasta que la actividad F (seleccionar el personal de Global que será transferido de Texas a Iowa) esté terminada. Esta actividad, F, a su vez no puede comenzarse hasta que la actividad C (determinar los requerimientos de personal) esté terminada.
La lista de actividades con sus predecesores inmediatos y las estimaciones de tiempo pendientes de determinar proveerán los ingredientes esenciales para responder las primeras cinco preguntas que se formulan al principio de este capítulo. En breve veremos cómo se utilizan PERT y CPM para producir estas respuestas. En la práctica, sin embargo, por lo general también se utiliza otro método gráfico: la gráfica de Gantt, para hacer frente a problemas semejantes. Por lo tanto, antes de volver al tema principal del capítulo, nos desviaremos un poco para precursor de los métodos de redes (PERT y CPM).

LA GRÁFICA DE GANTT
La gráfica de Gantt fue desarrollada por Henry L. Gantt en 1918 y sigue siendo una herramienta popular en la programación de la producción y de proyectos. Su simplicidad y su claro despliegue gráfico la han establecido como un dispositivo útil para problemas simples de programación. La gráfica de Gantt para el problema de Becky aparece en la figura 14.1. Cada actividad está inscrita sobre el eje vertical. El eje horizontal es el tiempo, y la duración anticipada de cada actividad, así como la duración real, están representadas por una barra con la longitud correspondiente. La gráfica indica también el tiempo más temprano (o próximo) posible de inicio de cada actividad. Por ejemplo, la actividad C no puede comenzar antes del tiempo 5 ya que, de acuerdo con la tabla 14.1, la actividad B debe estar terminada antes de que la actividad C pueda comenzar. Conforme cada actividad (o parte de ella) es terminada, se sombrea la barra apropiada. De este modo, en cualquier momento en el tiempo está claro qué actividades están dentro del programa y cuáles no. La gráfica de Gantt de la figura 14.1 muestra que para la semas 13, las actividades D, E y H están atrasadas con respecto al programa, en tanto que G ya ha sido terminada (porque está toda sombreada) y por lo tanto está anticipándose al programa.

Figura 14.1

Este simple ejemplo muestra cómo se utiliza la gráfica de Gantt principalmente como dispositivo de registro para seguir el avance en el tiempo de las subtareas de un proyecto. Como muestra la figura 14.1, podemos ver qué tareas individuales están dentro del programa, o atrasadas. Parece importante observar, llegados a este punto, que en el contexto de la gráfica de Gantt la frase "dentro del programa" significa "que ha sido terminada en un tiempo no posterior al tiempo más próximo de terminación". Por lo tanto, la figura 14.1 muestra que D y H pudieron haber sido terminadas, cuando mucho, para la semana 12. Dado que no están terminadas para la semana 13 están, en ese sentido, atrasadas con respecto al programa. Como veremos, esto es un concepto demasiado simple para saber si una actividad está dentro del programa. Un punto de vista apropiado seria que el proyecto general está siendo atrasado en relación con una fecha de entrega objetivo. La gráfica de Gantt omite revelar cierta información importante necesaria para responder a esta pregunta. Por ejemplo, la gráfica de Gantt no revela cuáles actividades son predecesores inmediatos de otras actividades. En la figura 14.1 podría parecer que F e I son predecesores inmediatos de G, ya que G puede comenzar en la semana 10 y F e I terminan en la semana 10. Sin embargo, la tabla 14.1 nos dice que sólo F es predecesor inmediato de G. Un retraso en I no afectaría el tiempo de comienzo potencial de G, o de hecho, de cualquier otra actividad. Es este tipo de información sobre el "predecesor inmediato" la que debe utilizarse para deducir el efecto sobre el tiempo de terminación del proyecto general. Este último tipo de información es de obvia importancia para el administrador. La debilidad general de las gráficas de Gantt se refleja en su inutilidad para hacer dichas inferencias. Ahora veremos que la representación de red contiene la información de predecesor inmediato que necesitamos.

EL DIAGRAMA DE RED

Figura 14.2


En un diagrama de red de PERT, cada actividad está representada por una flecha llamada rama o arco. El principio y fin de cada actividad están indicados por un círculo, que se llama nodo. El término evento también es utilizado en conexión con los nodos. Un evento representa la terminación de las actividades que llegan a un nodo. Remitiéndonos a la lista de actividades de la tabla 14.1, podemos ver que "seleccionar sitio de oficinas" se denomina como actividad A. Cuando se termina esta actividad, ocurre el evento "sitio de oficinas seleccionado".

Figura 14.3


Construcción del diagrama de red La figura 14.2 muestra un diagrama de red para las actividades A a C. Enfatizamos que los números asignados a los nodos son arbitrarios. Se utilizan simplemente para identificar eventos, y no implican nada sobre relaciones de precedencia. De hecho, conforme vayamos desarrollando el diagrama de red de este proyecto, varias veces iremos dando un número nuevo al nodo donde termina la actividad C, pero siempre se mantendrán las correctas relaciones de precedencia. En el diagrama de red, cada actividad debe iniciar en el nodo donde sus predecesores inmediatos terminaron. Por ejemplo, en la figura 14.2, la actividad C comienza en el nodo (3), porque su predecesor inmediato, la actividad B, terminó ahí. Podemos ver, sin embargo, que surgen complicaciones cuando intentamos agregar la actividad D al diagrama de red. Tanto A como C son predecesores inmediatos de D, y ya que deseamos mostrar cualquier actividad —tal como D— sólo una vez en nuestro diagrama, se deben combinar los nodos (2) y (4) en la figura 14.2, y D deberá comenzar desde este nuevo nodo. Esto se muestra en la figura 14.3. Observe que ahora el nodo (3) representa el evento de que ambas actividades, A y C, han sido terminadas. Vea que la actividad E, que sólo tiene a D como predecesor inmediato, puede agregarse sin mucha dificultad. Sin embargo, cuando intentamos agregar la actividad F, surge un nuevo problema. Debido a que F tiene a C como predecesor inmediato emanaría del nodo (3) (de la figura 14.3). No obstante, como podemos ver esto implicaría que F también tuviera a A como predecesor inmediato, lo cual es incorrecto.

El uso de actividades ficticias Este dilema en la construcción del diagrama se resuelve introduciendo una actividad ficticia, que en la figura 14.4 aparece representada por una línea punteada en el diagrama de red. La actividad ficticia es falsa en el sentido de que no requiere tiempo o recursos. Sólo provee un elemento pedagógico, que nos permite dibujar una representación de red que mantenga correctamente las relaciones de precedencia apropiadas. Por lo tanto, la figura 14.4 indica que la actividad D puede comenzar sólo después de que tanto la actividad A como la C hayan sido terminadas. De manera similar, la actividad F sólo puede ocurrir después de que C esté terminada.

Figura 14.4


El procedimiento de agregar una actividad ficticia puede generalizarse como sigue. Suponga que deseamos agregar una actividad A a la red, comenzando en el nodo N, pero no todas las actividades que involucra el nodo N son predecesores inmediatos de la actividad. Cree un nuevo nodo M, con una actividad ficticia que vaya desde el nodo M hasta el nodo N. Tome aquellas actividades que actualmente entran en el nodo N y que son predecesores inmediatos de la actividad A y cambie su dirección para que entren al nodo M. Ahora haga que la actividad A se inicie en el nodo M. Las actividades ficticias pueden evitarse totalmente si, en vez de asociar las actividades en los arcos (AA), las asociamos con las actividades en los nodos (AN). Un ejemplo de este planteamiento de actividad en el nodo se presenta en el cuadro que sigue.

Figura 14.5 y 14.6


La figura 14.5 muestra el diagrama de red para la primera lista de actividades según como se presentó en la tabla 14.1 Observamos que las actividades G y H comienzan ambas en el nodo (6) y terminan en el (7). Esto no constituye un problema al representar las relaciones de precedencia apropiadas, ya que sólo la actividad J comienza en el nodo (7). Sin embargo, esto podría causar un problema para ciertos paquetes de software usados para resolver problemas PERT y CPM. En algunos de estos programas, cada actividad está identificada por el número de su nodo tanto de comienzo como de terminación. Si va a utilizarse un programa de este tipo, la representación de G y H en la figura 14.5 llevaría al programa a considerarlos una misma actividad. Esto sería incorrecto, dado que de hecho las actividades G y H no son las mismas. Para resolver esta situación se puede utilizar una actividad ficticia. La figura 14.6 ilustra el procedimiento. Ya la actividad ficticia no requiere tiempo, se mantienen las relaciones correctas de tiempo y de precedentes. Esta nueva representación aparece en la figura 14.7. Muchos paquetes de software no requieren de la creación de estas actividades ficticias. Por lo tanto, para nuestros propósitos, sirven principalmente al objetivo pedagógico de representar correctamente las relaciones de precedencia (es decir, como se hizo en la figura 14.4).
Figura 14.7

ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS: PERT Y CPM

INTRODUCCIÓN
La tarea de administrar grandes proyectos es un antiguo y honorable arte. Aproximadamente en el año 2600 a.C. los egipcios construyeron la Gran Pirámide para el Rey Keops. El historiador griego Herodoto decía que 400,000 hombres trabajaron durante 20 años para construir esta estructura. Aunque actualmente se cuestionan estas cifras, no hay duda de la enormidad del proyecto. El Libro del Génesis nos dice que la Torre de Babel no fue terminada porque Dios hizo imposible que los constructores se comunicaran entre sí. Este proyecto es de especial importancia, ya que establece un precedente histórico sobre la popular costumbre de citar la intervención divina como razón de los fracasos.
Los proyectos modernos, en rangos que van desde construir un centro comercial suburbano hasta poner un hombre en la luna, son extremadamente grandes, complejos y costosos. No es, tarea fácil terminar dichos proyectos a tiempo y dentro del presupuesto. En particular, veremos que los complicados problemas para programar dichos proyectos a menudo quedan estructurados debido a la interdependencia de las actividades. Generalmente, no es posible iniciar ciertas actividades antes de que otras hayan sido terminadas. Al tratar con proyectos que con toda posibilidad involucran miles de dichas relaciones de dependencia, no es sorprendente que los administradores busquen métodos de análisis efectivos. Algunas de las preguntas clave que este capítulo responderá son:
1. ¿Cuál es la fecha esperada de terminación del proyecto?
2. ¿Cuál es la "variabilidad" potencial de esta fecha?
3. ¿Cuáles son las fechas de inicio y terminación programadas para cada actividad específica?
4. ¿Qué actividades son críticas, en el sentido de que deben ser terminadas exactamente como fueron programadas, a fin de cumplir el objetivo de terminación general del proyecto?
5. ¿Cuánto tiempo pueden retrasarse las actividades no críticas, antes de que se incurra en un retraso en la fecha de terminación general?
6. ¿Cómo pueden concentrarse más eficientemente los recursos en actividades, a fin de acelerar la terminación del proyecto?
7. ¿Qué control se debe ejercer en el flujo de gastos para las diversas actividades a lo largo proyecto, a fin de que el presupuesto general se pueda cumplir?

PERT y CPM, siglas de Program Evaluation Review Technique (Técnica de revisión y evaluación de programas) y Critical Path Method (Método de la ruta critica), respectivamente, darán las respuestas a estas preguntas. Cada uno de estos métodos de programación representa un proyecto como una red, cuando un proyecto involucra ciertos elementos inciertos, la representación del proyecto requiere una red estocástica, que introduce un nivel de complejidad adicional.
PERT fue desarrollado a finales de los años cincuenta por la Oficina Naval de Proyectos Especiales, en cooperación con la firma asesora en administración de Booz, Alien y Hamilton. La técnica recibió una publicidad favorable sustancial debido a su uso en el programa de ingeniería y desarrollo del misil Polaris, un complicado proyecto que incluía 250 contratistas directos y más de 9,000 subcontratistas. Desde entonces, ha sido ampliamente adoptada en otras ramas del gobierno y de la industria y aplicada a proyectos muy diversos, tales como la construcción de fábricas, edificios, autopistas, administración de la investigación, desarrollo de productos, instalación de nuevos sistemas de computadoras, y así sucesivamente. Hoy en dia, muchas empresas y oficinas del gobierno exigen a todos sus contratistas que utilicen PERT.

CPM fue desarrollado en 1957 por J. E. Kelly de Remington Rand y M. R. Walker de Du Pont. Difiere de PERT principalmente en detalles sobre cómo se tratan tiempo y costo. De hecho en la aplicación actual, las distinciones entre PERT y CPM se han difuminado conforme las empresas han integrado las mejores características de ambos sistemas, en sus propios esfuerzos por administrar eficientemente los proyectos. La aplicación de PERT y CPM tuvo un efecto inmediato en la programación de proyectos, porque permitía la práctica de "administración por excepción". Aunque en un proyecto pudiera haber 10,000 actividades, quizás solo 150 de ellas serían "críticas" y merecedoras de una vigilancia cercana. Para enviar a un estadounidense a la Luna durante la era del proyecto Apolo, la aviación de Estados Unidos utilizó PERT para aportar su parte del proyecto con seis semanas de anticipación. Incluía más 32,000 eventos y cientos de miles de actividades, pero sólo unos cuantos centenares necesitaron una vigilancia constante.
De acuerdo con la filosofía seguida a lo largo del texto, explicaremos el tema de la administración de proyectos en dos niveles. Primero, utilizando un ejemplo ilustrativo fácil de entender se desarrollarán las técnicas esenciales. Segundo, se ilustrará el uso de la hoja de cálculo para indicar cómo puede uno manejar las técnicas en una aplicación a gran escala del mundo real.

APLICACIÓN DE LAS VARIABLES BINARIAS

Las variables binarias, o 0 – 1, desempeñan un papel especialmente importante en las aplicaciones de la PLE. Estas variables permiten incluir decisiones “si o no”, conocidas a veces como decisiones de dicotomía, en un formato de optimización. Dos ejemplos rápidos ilustraran esta idea:

1. En un modelo para decidir la ubicación de una planta, sea Xj =1 la opción de construir la planta en la localidad j,y,x_j=0 la opción de no hacerlo.


2. En un modelo de rutas, sea x_ijk=1 el resultado que corresponde a la opción de que el camión k vaya de la ciudad i a la cuidad j,y sea x_ijk=0 el correspondiente a la opción de que no recorra esa ruta.

En estos ejemplos podrá observar que el empleo de variables 0-1 nos proporciona una nueva herramienta de formulación. En esta sección veremos algunos ejemplos de la forma en que se usan variables 0-1 para tomar decisiones de dicotomía en diferentes aplicaciones. Veremos también la forma de manipular las variables de esa índole para representar condiciones lógicas de diversos tipos.

CONDICIONES LOGICAS
Una aplicación importante de las variables 0-1 consiste en imponer restricciones que surgen de condiciones lógicas. Mencionamos a continuación varios ejemplos:

• No más de k de n alternativas supongamos que x_i=0 o 1, para i=1,….,n. La restricción x_1+x_(2 )+ …+ x_n ≤k implica que podemos seleccionar como máximo k alternativas entre n posibilidades. Es decir, como cada x_i sol puede ser 0 o 1, la restricción anterior implica que no más de k de ellas puede ser igual a 1. Considerando los datos presentados en la tabla anterior, suponga que PROTRAC ha estimado que no le será posible aceptar más de un proyecto en el extranjero. Por este motivo, la junta directiva quiere suprimir la alternativa que incluye tanto la expansión en Bélgica como la nueva planta en Chile. Añadir la restricción x_1+ x_3 ≤1 al modelo de PLE implica que la solución puede contener como máximo una de las opciones en el extranjero.

DECISIONES DEPENDIENTES
Podemos usar variables 0-1 para hacer que una relación dependa de dos o más decisiones. Supongamos, que la gerencia de PROTRAC no quiere seleccionar la alternativa k, a menos que haya elegido primero la alternativa m. La restricción x_k≤x_m asegura el cumplimiento de esta condición. Observe que si no se ha seleccionad previamente m, entonces x_m=0.
En consecuencia, la condición x_k≤x_m hace obligatorio que x_k sea 0 (es decir, que no se selecciona la alternativa k). En forma alternativa, si se selecciona m,x_m=1, entonces x_k≤x_m se convierte en x_k≤1. Con esto, el programa queda en libertad para seleccionar x_k=1 o bien x_k=0.

RESTRICCIONES AL TAMAÑO DEL LOTE
Considere al administrador de una cartera de inversiones que debe trabajar bajo las siguientes restricciones:

1. Si compra valores j, se debe adquirir por lo menos 200 acciones


2. No puede comprar más de 1000 de los valores j.

Sea x_j el número de acciones compradas del valor j. La restricción de que si se compra j, tendrán que ser compradas por lo menos 200 acciones, si se conoce como una restricción al “tamaño mínimo del lote” o al “tamaño de la partida”. Observe que ese tipo de restricción no puede introducirse en un modelo de PL. Las restricciones 200≤ x_j≤1000no producen ese efecto por que se exigen que x_j siempre sea 200 por lo menos. Deseamos que la condición sea o bien x_j=0 o 200 ≤x_j≤1000. Para lograrlo usaremos una variable 0-1, digamos y_j para el valor j. La variable y_jtiene la siguiente interpretación:

• Si y_j=1, entonces compre el valor j.


• Si y_j=0, no compre el valor j.

Consideramos ahora las dos restricciones x_j≤1000 y_j ; x_j ≥200 y_j
Veremos que si y_j=1, entonces x_j≤1000 y_j y x_j ≥200 y_j implica que 200 ≤x_j≤1000.
Por otra parte, si y_j=0, entonces x_j≤1000 y_j implica que x_j≥0.

En forma similar, x_j ≥200 y_j implica que〖 x〗_j ≥0. Estas dos desigualdades, tomadas en conjunto, implica que x_j=0. Así, si y_j=1 cuando compramos j, y 0 cuando no lo hacemos, ya hemos impuesto las condiciones apropiadas sobre 〖 x〗_j.

¿Cómo podemos estar seguros de que y_j=1 si compramos el valor j?

La desigualdad x_j≤1000 y_j lo garantiza.
Observamos que en esta desigualdad no es posible tener el mismo tiempo x_j>0 y y_j=0. Por consiguiente, si x_j>0, y_j debe ser igual a 1. De esta manera, vemos que las desigualdades〖 x〗_j≤1000 y_j y x_j ≥200 y_j juntas garantizan la restricción sobre el “tamaño mínimo del lote”.

k de m RESTRICCIONES
Mischa Gaas, un estudiante de intercambio que viene del Oriente Medio, llego a la universidad para realizar estudios de posgrado. Su asesor le informo que todas las personas que desean obtener un doctorado en historia deben satisfacer por lo menos dos de los siguientes criterios: “Tendrás que ser soltero, rico o loco”. Por desgracia, Mischa era pobre y estaba casado. De hecho, antes de casarse dedico largos años a buscar una novia que fuera alta, morena, bella y rica. Finalmente, lleno de frustración, dijo en su fuero interno: “Tres virtudes de cuatro no es un mal resultado”; y la mujer que eligió (o la que lo eligió a el) no era rica. Estos son algunos ejemplos de modelos en los cuales es necesario satisfacer k de m restricciones. En notación general, representemos en la siguiente forma el “superconjunto” de m restricciones
g_i (x_1,…,x_n )≤b_i, i=1,…,m
Introduzcamos ahora m nuevas variables del tipo 0-1 y_i y escojamos un número muy grande como valor de U, tan grande que para i,g_i (x_(i,…,) x_n )≤U para toda x que satisfaga cualquier conjunto de k desigualdades tomadas de entre las m anteriormente mencionadas. En ese caso, las siguientes m+1 restricciones expresan la condición deseada:
∑_(i=1)^m▒〖y_1=〗 k
g_i (x_1,…,x_n )≤b_i y_i+ (1-y_i )U, i=1,…,m
Observe que ∑_(i=1)^m▒〖y_i=k〗 obliga a k de las y_1 variables a tener el valor 1. Esto significa que exactamente k de las desigualdades anteriores son equivalentes a g_i (x_1,…,x_n )≤ b_i
Las demás desigualdades son equivalentes a g_i (x_1,…,x_n )≤ U y por la suposición de que se ha elegido un número muy grande para U, cada una de esas restricciones es redundante.